Summer School - Quadratic Forms in Chile 2018

¿Dónde y cuándo?

 

 

La escuela de cuatro días "Quadratic Forms over Function Fields" tendrá lugar en la Universidad de Santiago de Chile desde el día martes 2 de Enero al día jueves 5 de Enero del 2018, la semana previa a la conferencia.

¿Para quién?

 

 

La escuela está enfocada principalmente (pero no de manera exclusiva), tanto para estudiantes graduados extranjeros que asistirán a la conferencia en Talca como estudiantes locales graduados o postdocs con conocimientos básicos  en Algebra o Geometría (no necesariamente en formas cuadráticas). Idealmente, la escuela servirá como preparación y como adelanto para lo que será presentado en la conferencia.

El primer día y medio será dedicado a introducir los conceptos básicos de la teoría de formas cuadráticas. Para estudiantes con conocimientos en formas cuadráticas (que no pueden asistir el 2 de enero), no presentaría ningún incovenientes unirse a la escuela desde el día 3 de Enero.

¿Sobre qué trata?

 

 

Recientemente han habido varios resultados sobre la isotropía de formas cuadráticas sobre cuerpo de funciones, más notable aún, un principio local-global sobre cuerpos de funciones sobre curvas p-ádicas, que será discutido en la escuela de verano. Con la intención de poner énfasis en los métodos por sobre los resultados y para tener una planificación realista que deje tiempo suficiente para ejercicios y trabajo individual, se ha decidido restringir la atención de la escuela de verano a unos pocos resultados "más pequeños" cuyas demostraciones no son tan exhaustivas, pero que ejemplifican el uso de variadas técnicas de la geometría algebraica y topología para resolver preguntas aritméticas sobre cuerpos de funciones.

Curso 1 (Karim J. Becher, Universiteit Anterpen, Belgium) : Quadratic forms over fields and local rings .  

El curso introducirá las nociones básicas correspondientes a formas cuadráticas sobre cuerpos y anillos, tales como isotropía, la noción de formas residuales de formas unimodulares sobre un anillo local, así como el "lifting" de isotropía de la forma residual a la completación del anillo. Más aún, los conceptos preparatorios para los otros dos cursos serán introducidos, por ejemplo la relación entre el orden de cuerpos, sumas de cuadrados, formas cuadráticas y valuaciones, o la relación entre formas cuadráticas 3 y 4 dimensionales y el ``splitting'’ de ciertas álgebras de cuaterniones. Además, serán discutidas (sin pruebas completas) formas cuadráticas sobre ciertos cuerpos de base en particular (Por ejemplo: Teoría de Tsen-Lang para cuerpos de funciones complejos, principios local-globales sobre cuerpos de números o cuerpos p-ádicos).

Este primer curso va a ser en Castellano, y va a ser accesible para alumnos con conocimientos en algebra abstracta (anillos y cuerpos).

Los otros dos cursos van a ser en inglés.

Curso 2 (David Grimm, Universidad de Santiago de Chile) : Sums of squares in function fields of real curves and surfaces.

El objetivo explícito de este curso es revisar algunos resultados menos conocidos (pero importantes) en lo relacionado a sumas de cuadrados y formas cuadráticas sobre cuerpos de funciones de variedades reales, tales como limites superiores e inferiores para el número de pitágoras (este es el menor número natural n necesitado para expresar cualquier elemento totalmente positivo como suma de n cuadrados); en particular para superficies algebraicas (y numéricas) sobre los números reales.

Estos serán consecuencias de objetivos implícitos del curso, relacionando objetos numéricos y técnicas para cuerpos de funciones (como valuaciones, ordenes, sumas de cuadrados) con objetos geométricos y técnicas (como blowing-ups, divisores, cubrimientos dobles, secciones genéricas del hiperplano, fibradas vectoriales y sus clases de Chern.

Curso 3 (Asher Auel, Yale University, USA) : Quadratic forms over function fields of complex curves and surfaces.

El objetivo principal de este curso es construir contraejemplos para la existencia de un principio local-global para formas cuadráticas isotrópicas sobre cuerpos de funciones de variedades algebraicas complejas con énfasis en curvas y superficies. La construcción de formas cuadráticas que son localmente isotrópicas pero globalmente anisotrópicas involucrará el grupo de Picard, en el caso de curvas, y el grupo de Brauer y teoría de Hodge, en el caso de superficies. Estos métodos utilizan varios de los conceptos aritméticos y geométricos que se mencionarán en el curso 2 y serán desarrollados en el curso 3.

Special lecture 1 (by David Leep; University of Kentucky, E.E.U.U.):

Más información próximamente

Special lecture 2 (by Eberhard Becker; TU Dortmund, Alemania):

Más información próximamente

Special lecture 3 (by Jean-Louis Colliot-Thélène, Université Paris 11, Francia):

Más información próximamente

¿Cómo registrarse?

 

 

Si también se registra para la conferencia de Talca, puede registrarse para la escuela en Santiago en el mismo correo. Sino, también puede inscribirse en la de Santiago escribiendo un email con asunto "school registration" al mail oficial de la escuela de verano en la USACH qfc2018@usach.cl

No habrá cuota de inscripción. No se darán almuerzos, sin embargo se esta trabajando para conseguir ofertas especiales para los participantes en restaurants cercanos a la escuela.

¿Dónde quedarse?

 

 

Hay una gran cantidad de hostales en el histórico y tranquilo sector de "Yungay" (a 20 minutos de distancia caminando desde la USACH). De todos modos, mediante el sistema de metro de Santiago, con la estadía en cualquier metro de la línea 1 o línea 5 (roja y verde respectivamente) se puede llegar en menos de 30 minutos aproximadamente, como referencia los metros más cercanos son "Estación Central" (Línea 1) y "Quinta Normal" (Línea 5)

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